Question

【題目】設函數y=f（x）的定義域為R，并且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）， ，且當x＞0時，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數滿足f（x+y）=f（x）+f（y），

∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．

∴f（0）=0

（2）解：∵y=f（x）的定義域為R，

f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，

∴y=﹣x，得f（﹣x）+f（x）=f（0）=0，

∴f（x）是奇函數

（3）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y）， ，且當x＞0時，f（x）＞0．

f（x1）=f（x2）+f（x1﹣x2），令x1＞x2，則f（x1）＞f（x2），所以函數單調遞增，

∵f（x）+f（2+x）＜2，

∴ ，

∴x取值范圍是（﹣∞，﹣ ）

【解析】（1）由函數滿足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．（2）由y=f（x）的定義域為R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=﹣x，能推導出f（x）是奇函數．（3）利用單調性的定義，結合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函數的單調性，進而將抽象不等式轉化為具體不等式，即可求解．
【考點精析】利用奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．