Question

（2013•德州一模）生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩種元件各100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：

測試指標(biāo)	[70，76）	[70，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
元件A	8	12	40	32	8
元件B	7	18	40	29	6

（1）試分別估計元件A，元件B為正品的概率；
（2）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利80元，若是次品則虧損10元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品則虧損20元，在（Ⅰ）的前提下．
（i）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于280元的概率；
（ii）記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）查出正品數(shù)，利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（2）（i）先求出生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于280元的正品數(shù)，再利用二項分布列的計算公式即可得出．（ii）生產(chǎn)1件元件A和1件元件B可以分為以下四種情況：兩件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互獨立事件的概率計算公式及數(shù)學(xué)期望的定義即可得出．

解答：解：（1）元件A為正品的概率約為

40+32+8

100

=

4

5

．              
元件B為正品的概率約為

40+29+6

100

=

3

4

．                
（2）（i）設(shè)生產(chǎn)的5件元件B中正品有n件，則次品有5-n件．
依題意得 50n-10（5-n）≥140，解得 n≥

19

6

．
所以 n=4或n=5．                                   
設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于280元”為事件A，
則P（A）=C

4 5

（

3

4

）⁴×（1-

3

4

）+（

3

4

）⁵=

81

128

，
（ii）∵生產(chǎn)1件元件A和1件元件B可以分為以下四種情況：兩件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴隨機變量X的所有取值為180，90，60，-30．           
∵P（X=180）=

4

5

×

3

4

=

3

5

；P（X=90）=（1-

4

5

）×

3

4

=

3

20

；P（X=60）=

4

5

×（1-

3

4

）=

1

5

；
P（X=-30）=（1-

4

5

）×（1-

3

4

）=

1

20

．
∴隨機變量X的分布列為：

X	180	90	60	-30
P	3 5	3 20	1 5	1 20

EX=180×

3

5

+90×

3

20

+60×

1

5

+（-30）×

1

20

=132．

點評：熟練掌握分類討論的思想方法、古典概型的概率計算公式、相互獨立事件的概率計算公式、數(shù)學(xué)期望的定義、二項分布列的計算公式是解題的關(guān)鍵．