Question

【題目】已知f（x）= x3﹣2ax2﹣3x（a∈R）． （Ⅰ）若f（x）在區間（﹣1，1）內為減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）對于實數a的不同取值，試討論y=f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）對函數g（x）求導得，f'（x）=2x2﹣4ax﹣3， ∵f（x）在區間（﹣1，1）內為減函數，
∴f'（x）≤0在x∈（﹣1，1）上恒成立，
結合二次函數的圖象和性質，
問題等價為： ，即 ，
解得﹣ ≤a≤ ，
∴實數a的取值范圍為[﹣ ， ]，
（Ⅱ）當a＜﹣ 時，f′（﹣1）=4a﹣1＜0，f′（1）=﹣4a﹣1＞0
∴f（x）在（﹣1，1）內有且只有一個極小值點，
當a＞ 時，f′（﹣1）=4a﹣1＞0，f′（1）=﹣4a﹣1＜0，
∴f（x）在（﹣1，1）內有且只有一個極大值點，
當﹣ ≤a≤ 時，由（Ⅰ）可知在區間（﹣1，1）上為減函數，
∴f（x）在區間（﹣1，1）內沒有極值點．
綜上可知，當a＜﹣ 或a＞ 時，函數在區間（﹣1，1）內的極值點個數為1；當﹣ ≤a≤ 時，在區間（﹣1，1）內的極值點個數為0
【解析】（Ⅰ）先求出導函數，根據題意問題等價為g'（x）≤0在x∈（﹣1，1）上恒成立，再根據二次函數的性質轉化為： ，解出即可，（Ⅱ）分類討論．利用導數的正負，即可得出y=f（x）在（﹣1，1）內的極值點的個數．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．