Question

【題目】已知函數．

（1）當時，求函數的極小值；

（2）若上，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)2；(2) .

【解析】試題分析：（1）將參數值代入表達式，再進行求導，根據導函數的正負得到原函數的單調性，進而得到極值；（2）,有解，即h(x)的最小值小于0即可，對函數求導，研究函數的單調性，得到最小值即可.

解析：

（1）當時，

令0，得

且在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增

所以在時取得極小值為.

（2）由已知：，使得

，即：

設，則只需要函數在上的最小值小于零．

又，

令，得（舍去）或．

①當，即時，在上單調遞減，

故在上的最小值為，由，可得．

因為，所以．

②當，即時，在上單調遞增，

故在上的最小值為，由，

可得（滿足）．

③當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，故在上的最小值為．

因為，所以，

所以，即，不滿足題意，舍去．

綜上可得或，

所以實數的取值范圍為．