Question

（本小題滿分12分）

已知函數且導數.

（1）試用含有的式子表示，并求的單調區間；

（2）對于函數圖象上不同的兩點，且，如果在函數圖像上存在點（其中）使得點處的切線，則稱存在“相依切線”.特別地，當時，又稱存在“中值相依切線”.試問：在函數上是否存在兩點使得它存在“中值相依切線”？若存在，求的坐標，若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

（2）不存在點滿足題意. 

【解析】(1)求導，根據，可得,然后根據可得

。函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為

（2）解本題的突破口是假設存在點滿足條件,

則,整理得:,

令,則問題轉化為方程:有根.

然后構造函數求導解決。

解：(1)，，， …………… 1分   ，（舍去），，……… 2分 函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.……………… 4分

(2) 假設存在點滿足條件,

則,整理得:, ……………… 6分

令,則問題轉化為方程:有根,

 設,,……………… 9分

 函數為上的單調遞增函數,且,,

所以不存在使方程成立,

即不存在點滿足題意.                          ……………… 12分