Question

（2012•孝感模擬）如圖，曲線C₁是以原點O為中心，F₁，F₂為焦點的橢圓的一部分．曲線C₂是以O為頂點，F₂為焦點的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點且∠AF₂F₁為鈍角，若|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

．
（I）求曲線C₁和C₂的方程；
（II）設點C是C₂上一點，若|CF₁|=

2

|CF₂|，求△CF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（I）設曲線C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則根據|AF₁|=

7

2

，|AF₂|=

5

2

，可得a=3，設A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），則（x+c）²+y²=

49

4

，（x-c）²+y²=

25

4

，由此可求曲線C₁和C₂的方程；
（II）過點F₁作直線l垂直于x軸，過點C作直線CC₁⊥l于點C₁，依題意知l為拋物線C2的準線，則|CC₁|=|CF₂|，在△CF₁F₂中，設|CF₂|=r，則|CF₁|=

2

r，|F₁F₂|=2，由余弦定理可得r=2，再利用三角形的面積公式，即可求得結論．

解答：解：（I）設曲線C₁的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6得a=3
設A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），則（x+c）²+y²=

49

4

，（x-c）²+y²=

25

4

兩式相減可得：xc=

3

2

由拋物線定義可知|AF₂|=x+c=

5

2

∴c=1，x=

3

2

或x=1，c=

3

2

（舍去）
所以曲線C₁的方程為

x2

9

+

y2

8

=1(-3≤x≤

3

2

)，C₂的方程為y²=4x（0≤x≤

3

2

）；
（II）過點F₁作直線l垂直于x軸，過點C作直線CC₁⊥l于點C₁，依題意知l為拋物線C₂的準線，則|CC₁|=|CF₂|
在直角△CC₁F₁中，|CF₁|=

2

|CC₁|，∠C₁CF₁=45°
∵∠CF₁F₂=∠C₁CF₁=45°
在△CF₁F₂中，設|CF₂|=r，則|CF₁|=

2

r，|F₁F₂|=2
由余弦定理可得2²+2r²-2×2×

2

rcos45°=r²，
∴r=2
∴S_△CF1F2=

1

2

×2×2

2

sin45°=2

點評：本題考查了橢圓，拋物線方程的求法，考查三角形面積的計算，求得方程是關鍵．