Question

已知函數f（x）=

a

x

．
（1）當a=1時，求函數f（x）的值域；
（2）當a＞0時，判斷函數f（x）的單調性，并證明．

Answer 1

（1）當a=1時，f（x）=

1

x

，∵x≠0，∴

1

x

≠0，∴f（x）的值域（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）當a＞0時，f（x）=

a

x

，其中x≠0，f（x）在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）的每一個區間上都是減函數，
證明如下：任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

a

x1

-

a

x2

=

a(x2-x1)

x1x2

；
∵a＞0，0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，∴

a(x2-x1)

x1x2

＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂），即f（x）在（0，+∞）上是減函數；
同理可證f（x）在（-∞，0）上也是減函數．