Question

設點P是拋物線C：x²=2py（p＞0）在第一象限內的任意一點，過P作拋物線C的切線l交x軸于點M，F為拋物線C的焦點，點Q滿足

PM

=

1

2

PF

+

1

2

PQ

，若△PFQ是面積為

3

的等邊三角形，則p的值為

1

．

Answer 1

分析：由拋物線方程求出焦點坐標，設出動點P的坐標，利用導數求出過點P的切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，取y=0得到點M的坐標，根據給出的向量式得到M為FQ的中點，由中點坐標公式得到Q點的坐標，再由△PFQ是面積為

3

的等邊三角形列式計算p的值．

解答：解：因為拋物線C：x²=2py，所以焦點F（0，

p

2

）；
設P點坐標為P（n，

n2

2p

），
由x²=2py，得y=

x2

2p

，
則y′|x=n=

n

p

．
直線PM方程為：y-

n2

2p

=

p

n

(x-n)，取y=0得與x軸交點M（

n

2

，0）；
由

PM

=

1

2

PF

+

1

2

PQ

，則M為FQ連線的中點．
由中點坐標公式可得Q（n，-

p

2

）；
因為△PFQ是等邊三角形，故有PQ²=PF²=FQ²．
由于S_△PFQ=

3

2

•

PF2

2

=

3

4

PF2=

3

，∴PF=PQ=FQ=2．
PQ2=(

n2

2p

+

p

2

)2=

(n2+p2)2

2p2

=4，所以n²+p²=4p．
FQ²=n²+p²=2²=4，與上式對比可知，p=1．
故答案為1．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，利用導數求過拋物線上點P的切線方程是解答該題的關鍵，考查了學生的計算能力．是中檔題．