Question

設(shè)點P是拋物線C：x²=2py（p＞0）在第一象限內(nèi)的任意一點，過P作拋物線C的切線l交x軸于點M，F(xiàn)為拋物線C的焦點，點Q滿足，若△PFQ是面積為的等邊三角形，則p的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由拋物線方程求出焦點坐標(biāo)，設(shè)出動點P的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過點P的切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，取y=0得到點M的坐標(biāo)，根據(jù)給出的向量式得到M為FQ的中點，由中點坐標(biāo)公式得到Q點的坐標(biāo)，再由△PFQ是面積為的等邊三角形列式計算p的值．
解答：解：因為拋物線C：x²=2py，所以焦點F（0，）；
設(shè)P點坐標(biāo)為P（n，），
由x²=2py，得，
則．
直線PM方程為：，取y=0得與x軸交點M（，0）；
由，則M為FQ連線的中點．
由中點坐標(biāo)公式可得Q（n，-）；
因為△PFQ是等邊三角形，故有PQ²=PF²=FQ²．
由于S_△PFQ=，∴PF=PQ=FQ=2．
，所以n²+p²=4p．
FQ²=n²+p²=2²=4，與上式對比可知，p=1．
故答案為1．
點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求過拋物線上點P的切線方程是解答該題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的計算能力．是中檔題．