Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F(

1

2

，0)．（1）求拋物線C的方程； （2）已知直線y=k(x+

1

2

) 與拋物線C交于A、B 兩點，且|FA|=2|FB|，求k 的值； （3）設點P 是拋物線C上的動點，點R、N 在y 軸上，圓（x-1）²+y²=1 內切于△PRN，求△PRN 的面積最小值．

Answer 1

分析：（1）設拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），焦點為 F(

1

2

，0)．

p

2

=

1

2

，p=1，從而可求拋物線C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得 x1-2x2=

1

2

，將直線與拋物線方程聯立可得 x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

，從而問題得解．
（3）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x₀，y₀代入化簡整理可得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，進而可知b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據求根公式，可求得b-c，進而可得△PRN的面積的表達式，根據均值不等式可知當x₀=4時面積最小，進而求得點P的坐標．

解答：解：（1）設拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），∵

p

2

=

1

2

，∴p=1，∴拋物線C的方程為y²=2x
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得 x1-2x2=

1

2

，又

y=k(x+ 1 2 ) y2=2x

，∴k2x2+(k2-2)x+

k2

4

=0，∴x1+x2=

2

k2

-1，x1x2=

1

4

，∴x1=1，x2=

1

4

，k=±

2 2

3

∵△=4-4k²＞0，∴-1＜k＜1，∴k=±

2 2

3

，
（3）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，即

|y0-b+x0b |

(y0-b )2+x02

=1，注意到x₀＞2，化簡上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，由上可知，b，c為（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據求根公式，可得 b-c=

4 x 0 2 +4 y 0 2 -8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

，故△PRN的面積為
S=

1

2

( b-c )x0=

x 0 2

x0-2

=(x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

(x0-2 )• 4 x0-2

+4=8，等號當且僅當x₀=4時成立．此時點P的坐標為 ( 4 ， 2

2

)或 ( 4 ， -2

2

)，
綜上所述，當點P的坐標為 ( 4 ， 2

2

)或 ( 4 ， -2

2

)時，△PRN的面積取最小值8．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程和直線與拋物線的關系．直線與圓錐曲線的問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題．與圓錐曲線性質有關的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．