Question

已知定義域為R，滿足：①；
②對任意實數，有.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）判斷函數的奇偶性與周期性，并求的值；
（Ⅲ）是否存在常數，使得不等式對一切實數成立.如果存在，求出常數的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）.                .
（Ⅱ）.
（Ⅲ）存在常數，使得不等式對一切實數成立，且為滿足題設的唯一一組值.      

本試題主要是考查了抽象函數賦值思想的運用。
（1）對于x,y適當的賦值，求解得到f(0),f(3)的值
（2）在條件中令x=0,那么得到函數的周期為4，然后結合定義證明其奇偶性。并求解函數值。
（3）運用函數的周期性和函數與不等式的關系進行求解運算即可。