Question

【題目】在直角坐標系中，已知橢圓經過點，且其左右焦點的坐標分別是，.

（1）求橢圓的離心率及標準方程；

（2）設為動點，其中，直線經過點且與橢圓相交于，兩點，若為的中點，是否存在定點，使恒成立？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1），；（2）在定點

【解析】

（1）根據橢圓的焦點得到，根據橢圓過點，由橢圓的定義得到，再求出，從而得到橢圓的離心率和標準方程；

（2）設，，則，，利用點差法，得到，從而表示出線段的垂直平分線，再根據直線過定點，得到關于的方程組，得到定點的坐標.

（1）設橢圓方程：.

∴.

∵橢圓經過點，

∴，

∴，可得.

橢圓的離心率為，橢圓標準方程：.

（2）設，，

因為為中點，

則，.

∵、在曲線上，∴，

將以上兩式相減得：.

所以得到，

∴線段的垂直平分線方程：，

整理得

令，得

故線段的垂直平分線過定點.

所以存在定點，使恒成立.