Question

【題目】

已知函數（是自然對數的底數）.

（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；

（2）若對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；

（3）當時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）（3）相等，一個.

【解析】

（1）求出在的切線，與聯立，根據切線與拋物線只有一個交點，則；（2）分，，根據導數討論；（3）轉化為函數的零點通過導數求解.

（1），

所以在處的切線為

即：

與聯立，消去得，

由知，或

（2）

①當時，在上單調遞增，且當時，，

，故不恒成立，所以不合題意 ；

②當時，對恒成立，所以符合題意；

③當時令，得，

當時，，

當時，，

故在上是單調遞減，在上是單調遞增,

所以

又，，

綜上：

(3)當時，

由（2）知，

設，

則，

假設存在實數，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解，

令得：，

因為， 所以.

令，則，

當是，當時，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

,故方程有唯一解為1，

所以存在符合條件的，且僅有一個.