Question

【題目】已知矩形，為中點(diǎn)，將至折起，連結(jié).

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由線面垂直的判定定理可證平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理可知，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可證平面，最后由線面垂直的性質(zhì)定理可證；

（2）過點(diǎn)作直線平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，的坐標(biāo)為，由已知關(guān)系構(gòu)建三元一次方程組求得,再分別計(jì)算平面和平面的法向量，最后由數(shù)量積公式求夾角的余弦值即可.

（1）證明：由題意可知，

，平面，平面，所以平面，

又平面，所以，

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面，

又平面.所以.

（2）過點(diǎn)作直線平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為，

①

又 ②，

③

解由①②③構(gòu)成的方程組可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)

進(jìn)而

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得

所以，令，解得，即，

易知，平面的一個(gè)法向量，

，

由圖可知，二面角的大小為銳角，

二面角的余弦值為.