Question

已知函數f(x)=-x³+3x²+9x+a.

(1)求f(x)的單調遞減區間；

(2)若f(x)在區間［-2,2］上的最大值為20，求它在該區間上的最小值.

Answer 1

解析：求函數的單調性,只要對函數求導,討論導函數與0的大小關系.求最值一般先討論極值,或端點結合起來得到最值.

答案：(1)f′(x)=-3x²+6x+9.?

令f′(x)＜0,解得x＜-1或x＞3.?

所以函數f(x)的單調遞減區間為(-∞,-1),(3,+∞).?

(2)因為f(-2)=8+12-18+a=2+a,?

f(2)=-8+12+18+a=22+a,?

所以f(2)＞f(-2).?

因為在(-1,3)上f′(x)＞0,所以f(x)在［-1,2］上單調遞增.又由于f(x)在［-2,-1］上單調遞減,因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區間［-2,2］上的最大值和最小值.?

于是有22+a=20,解得a=-2.?

故f(x)=-x³+3x²+9x-2.?

因此f(-1)=1+3-9-2=-7,?

即函數f(x)在區間［-2,2］上的最小值為-7.