Question

【題目】已知橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過左焦點F1(-2,0)作x軸的垂線交橢圓于P,Q兩點,PF2與y軸交于E,A,B是橢圓上位于PQ兩側的動點.

(1)求橢圓的離心率e和標準方程;

(2)當∠APQ=∠BPQ時,直線AB的斜率kAB是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)代入F1的橫坐標即可表示出P點坐標為；利用E點坐標以及OE為的中位線得到a與b的關系；再結合橢圓中a、b、c的關系即可解得a、b，進而求得橢圓的離心率與標準方程。

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2)，由(1)可求得P點坐標。設出直線AP的方程，則直線BP的方程也可以表示出來了。聯立橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理與斜率的表達式即可求得斜率的定值。

(1)把x=-2代入橢圓方程得=1,解得y=±.取P,

由題可得OE為的中位線，

由可得，

即b2=3a,又a2=b2+4,聯立解得a=4,b2=12,

∴e=,橢圓的標準方程為=1.

(2)當∠APQ=∠BPQ時,直線AB的斜率kAB為定值-.

證明：由(1)得P(-2,3),設A(x1,y1),B(x2,y2).

不妨設直線PA的方程為y=k(x+2)+3,則直線PB的方程為y=-k(x+2)+3.

聯立整理得(3+4k2)x2+(16k2+24k)x+16k2+48k-12=0,∴-2x1=,

解得x1=,y1=.

同理得x2=,y2=,

∴kAB==-,為定值.