Question

【題目】如圖，OA是南北方向的一條公路，OB是北偏東45°方向的一條公路，某風景區的一段邊界為曲線C．為方便游客光，擬過曲線C上的某點分別修建與公路OA，OB垂直的兩條道路PM，PN，且PM，PN的造價分別為5萬元/百米，40萬元/百米，建立如圖所示的直角坐標系xoy，則曲線符合函數y=x+ （1≤x≤9）模型，設PM=x，修建兩條道路PM，PN的總造價為f（x）萬元，題中所涉及的長度單位均為百米．

（1）求f（x）解析式；
（2）當x為多少時，總造價f（x）最低？并求出最低造價．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在如圖所示的直角坐標系中，因為曲線C的方程為 ，

所以點P坐標為 ，

直線OB的方程為x﹣y=0，

則點P到直線x﹣y=0的距離為 ，

又PM的造價為5萬元/百米，PN的造價為40萬元/百米．

則兩條道路總造價為

（2）

解：因為 ，

所以 ，

令f'（x）=0，得x=4，列表如下：

x	（1，4）	4	（4，9）
f'（x）	﹣	0	﹣
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

所以當x=4時，函數f（x）有最小值，最小值為 ．

答：（1）兩條道路PM，PN總造價f（x）為 （1≤x≤9）；

（2）當x=4時，總造價最低，最低造價為30萬元．

（注：利用三次均值不等式 ，

當且僅當 ，即x=4時等號成立，照樣給分．）

【解析】（1）求出P的坐標，直線OB的方程，點P到直線x﹣y=0的距離，即可求f（x）解析式；（2）利用導數的方法最低造價．