Question

已知橢圓，F₁，F₂是左右焦點，l是右準線，若橢圓上存在點P，使|PF₁|是P到直線l的距離的2倍，則橢圓離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：設點P到直線l的距離為d，根據橢圓的定義可知|PF₂|比d的值等于c比a的值，由題意知|PF₁|等于2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，聯立化簡得到：|PF₁|等于一個關于a與c的關系式，又|PF₁|大于等于a-c，小于等于a+c，列出關于a與c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范圍，即為離心率e的范圍，同時考慮e小于1，從而得到此橢圓離心率的范圍．
解答：解：設P到直線l的距離為d，
根據橢圓的第二定義得=e=，|PF₁|=2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
則|PF₁|=2a-|PF₂|=2a-=2d，即d=，
而|PF₁|∈（a-c，a+c），即2d=，
所以得到，由①得：++2≥0，為任意實數；
由②得：+3-2≥0，解得≥或≤（舍去），
所以不等式的解集為：≥，即離心率e≥，又e＜1，
所以橢圓離心率的取值范圍是[，1）．
故答案為：[，1）
點評：此題考查學生掌握橢圓的定義及橢圓簡單性質的運用，是一道中檔題．