Question

已知正方形ABCD邊長為1，圖形如示，點E為邊BC的中點，正方形內部一動點P滿足：P到線段AD的距離等于P到點E的距離，那么P點的軌跡與正方形的上、下底邊及BC邊所圍成平面圖形的面積為

11

24

．

Answer 1

分析：由題設條件，需要先求出動點P的方程即拋物線的方程，再利用積分求出面積，積分時可以以x作為積分變量即可計算出兩曲線所圍成的圖形的面積．

解答：解：如圖，建立平面直角坐標系，動點P的軌跡是以（0，

1

2

）為焦點的拋物線，其方程為：y=

1

2

x²，
那么P點的軌跡與正方形的上、下底邊及BC邊所圍成平面圖形的面積為
S=

∫

1 2 - 1 2

（

1

2

-

1

2

x²）dx=（

1

2

x-

1

6

x³）

|

1 2 - 1 2

=

11

24

．
故答案為：

11

24

點評：本題考查拋物線的定義、拋物線的標準方程、定積分在求面積中的應用等基本知識，解答本題關鍵是確定積分變量與積分區間，有些類型的題積分時選擇不同的積分變量，解題的難度是不一樣的．