Question

【題目】如圖所示，在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.

(1)若M為CD中點，求證：AM⊥平面AA1B1B；

(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）推導出AM⊥CD，由CD∥AB得，AM⊥AB，又AM⊥AA1，由此能證明AM⊥平面AA1B1B

（2）分別以AB，AM，AA1為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出直線DD1與平面A1BD所成角θ的正弦值．

試題解析：

(1)證明：連接AC，

∵四邊形ABCD為菱形，

∠BAD＝120°，

∴△ACD為等邊三角形，

又M為CD中點，

∴AM⊥CD，由CD∥AB得，

AM⊥AB.

∵AA1⊥底面ABCD，AM平面ABCD，∴AM⊥AA1.

又AB∩AA1＝A，

∴AM⊥平面AA1B1B.

(2)∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2，

∴DM＝1，AM＝，

∴∠AMD＝∠BAM＝90°，

又AA1⊥底面ABCD，

∴以A為坐標原點，AB，AM，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，

則A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，，0)，D1，

∴＝，＝(－3，，0)，＝(2,0，－2)．

設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，

則即

令x＝1，則n＝(1，，1)，

∴|cos〈n，〉|＝＝＝.

∴/span>直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值為.