Question

【題目】已知橢圓方程為： ， 橢圓的右焦點為，離心率為，直線： 與橢圓相交于、兩點，且

（1）橢圓的方程及求的面積；

（2）在橢圓上是否存在一點，使為平行四邊形，若存在，求出的取值范圍，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）， （2）不存在

【解析】試題分析：（1）由題意求出c，結合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；聯立直線方程和橢圓方程，設出A，B的坐標，利用根與系數的關系求出A，B的橫縱坐標的乘積，再由kOAkOB=得到k與m的關系，利用弦長公式求得弦長，由點到直線的距離公式求出坐標原點O到直線l的距離，代入三角形面積公式得答案．（2）若存在平行四邊形使在橢圓上，則，得出點P的坐標， 在橢圓上，把點P坐標代入橢圓方程，化簡得 ， 由，知 ,聯立求得.

試題解析：

（1）由已知

橢圓方程為：

設A(，B，則, 的坐標滿足

消去化簡得， ，

， 得

,

.

， ，即

即,=.

O到直線的距離

,

.

（2）若存在平行四邊形OAPB使在橢圓上，則，設，

則,,由于在橢圓上，所以，從而化簡得

化簡得 ①， 由，知 ②

聯立方程①②知，故不存在在橢圓上的平行四邊形.