Question

【題目】已知橢圓，定義橢圓上的點的“伴隨點”為.

（1）求橢圓上的點的“伴隨點”的軌跡方程；

（2）如果橢圓上的點的“伴隨點”為，對于橢圓上的任意點及它的“伴隨點”，求的取值范圍；

（3）當， 時，直線交橢圓于， 兩點，若點， 的“伴隨點”分別是， ，且以為直徑的圓經過坐標原點，求的面積．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）;（3） .

【解析】試題分析：(1)利用相關點代入法求解；（2）先由已知求得橢圓方程為 ，設

；（3）設, 1)當直線的斜率存在時,設方程為

，由以 為直徑的圓經過原點

，又到直線的距離 ；2) 當直線的斜率不存在時,設方程為

的面積是定值 .

試題解析：（1）解.設（）由題意 則，又

，從而得

（2）由，得.又，得.

點在橢圓上， ， ，且，

，

由于， 的取值范圍是

（3） 設,則;

1)當直線的斜率存在時,設方程為, 由

得； 有 ①

由以為直徑的圓經過坐標原點O可得: ；

整理得: ②

將①式代入②式得: ,

又點到直線的距離

所以

2) 當直線的斜率不存在時,設方程為

聯立橢圓方程得；代入得，解得,從而,綜上: 的面積是定值.