Question

【題目】平面直角坐標系中，在x軸的上方作半徑為1的圓Γ，與x軸相切于坐標原點O．平行于x軸的直線l1與y軸交點的縱坐標為-1，A（x，y）是圓Γ外一動點，A與圓Γ上的點的最小距離比A到l1的距離小1．

（Ⅰ）求動點A的軌跡方程；

（Ⅱ）設l2是圓Γ平行于x軸的切線，試探究在y軸上是否存在一定點B，使得以AB為直徑的圓截直線l2所得的弦長不變．

Answer 1

【答案】（I）；（II）存在滿足題意.

【解析】

（Ⅰ）由題意，圓Γ上距距離最小的點在上，于是依題意知的長度等于到的距離，即可求解；

（Ⅱ）假設存在這樣的點，設其坐標為，以為直徑的圓的圓心為，過作的垂線，垂足為，則點坐標為，于是，，根據弦長公式建立關系，待定系數法，即可求解的值，可得其坐標

解：（Ⅰ）設圓Γ的圓心為O1，顯然圓Γ上距A距離最小的點在AO1上，

于是依題意知AO1的長度等于A到l1的距離．顯然A不能在l1的下方，

若不然A到l1的距離小于AO1的長度，

故有，

即y=x2（x≠0）．

（Ⅱ）若存在這樣的點B，設其坐標為（0，t），

以AB為直徑的圓的圓心為C，過C作l2的垂線，垂足為D．

則C點坐標為（），于是CD=，

AB=

設所截弦長為l，

則=CD2=

于是l2=（12-4t）y+8t-16，

弦長不變即l不隨y的變化而變化，

故12-4t=0，即t=3．

即存在點B（0，3），滿足以AB為直徑的圓截直線l2所得的弦長不變．