Question

已知三點A、B、C的坐標分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），（α≠

kπ

4

，k∈Z），若

AC

•

BC

=-1，則

1+sin2α-cos2α

1+tanα

的值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的求值

分析：利用數量積的運算是可得sinα+cosα=

2

3

．再利用同角三角函數的平方關系可得sinαcosα=-

5

9

．再利用倍角公式、同角三角函數的商數關系即可得出．

解答： 解：

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）．
∵

AC

•

BC

=-1，∴cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
化為sinα+cosα=

2

3

．
∴

4

9

=(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα，
化為2sinαcosα=-

5

9

．
∴

1+sin2α-cos2α

1+tanα

=

2sin2α+2siαncosα

cosα+sinα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．
故答案為：-

5

9

．

點評：本題考查了數量積運算、同角三角函數基本關系式，屬于基礎題．