Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長分別為2和.

（1）求的標準方程；

（2）已知動直線與拋物線：相切（切點異于原點），且與橢圓相交于，兩點，問：橢圓上是否存在點，使得，若存在求出滿足條件的所有點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點坐標為或

【解析】

（1）（1）設直線方程為，分別與橢圓方程，圓聯立解得交點坐標，再根據弦長分別為2和.求解.

（2）設：，，，，與拋物線方程聯立，根據與相切，則，與橢圓方程聯立，由結合韋達定理得到Q坐標代入橢圓方程求解.

（1）設直線方程為，與橢圓方程聯立解得，

所以，

直線方程為，與圓聯立解得，

所以，

解得，

故：.

（2）由題知存在且斜率不為0，設：，，，，

聯立，得，

因為與相切，故，

聯立，得，

所以，，

，

又，

所以.

因為，

所以，

由韋達定理，代入計算得，

因為點在橢圓上，即，

代入得，即，，

解得或（舍），

所以，此時點坐標為或.