Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，正三角形PAC所在平面與等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中點，OH⊥PC于H.

（1）證明：PC⊥平面BOH；

（2）若，求二面角A-BH-O的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）先證明平面，得到，結合已知，證得平面.（2）以為空間坐標原點建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

解：（1）∵AB＝BC，O是AC中點，

∴ BO⊥AC，

又平面PAC⊥平面ABC，

且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，

∴ BO⊥平面PAC，

∴ BO⊥PC，又OH⊥PC，BO∩OH＝O，

∴ PC⊥平面BOH；

（2）易知PO⊥AC，又BO⊥平面PAC，

如圖，以O為原點，OB所在的直線為x軸，建立空間直角

坐標系O - xyz，由易知，OC＝2，

，，

∴ ，，，，

，，，

設平面ABH的法向量為，

則， ∴，取x=2，得，

由（1）知是平面BHO的法向量，易知，

設二面角A-BH-O的大小為，顯然為銳角，

則 ，

∴ 二面角A-BH-O的余弦值為．