Question

【題目】已知函數．

（1）若的最大值為，求的值；

（2）若存在實數且，使得，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）對函數進行求導，然后根據的正負性進行分類討論求出函數的單調性，最后根據題意求出的值；

（2）根據題意和（1）可以判斷出函數的單調性，進而可以確定介于之間，不妨設，這樣根據函數的單調性和絕對值的性質進行求解即可.

（1），若，則，所以在上單調遞增，無最值，不合題意；若，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，故的最大值，解得，符合題意．

綜上，．

（2）若，則由（1）知，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減．若存在實數，使得，則介于之間，不妨設，因為在上單調遞增，在上單調遞減，且，所以當時，，由，可得，故，又在上遞增，且，

所以，所以，

同理．所以，解得，不等式得證．