Question

（2012•崇明縣二模）在極坐標系中，已知點A（2，π），B（2，

4π

3

），C是曲線p=2sinθ上任意一點，則△ABC的面積的最小值等于

3

-

1

2

．

Answer 1

分析：把AB的極坐標化為直角坐標即 A（-2，0），B（-1，-

3

），故AB=

1+3

=2，且AB的方程

3

x+y+2

3

=0．曲線p=2sinθ 化為直角坐標方程可得，它表示以C（0，1）為圓心，半徑等于1的圓，求出圓心到直線的距離為d，點C到直線的最小距離等于d-1，再由△ABC的面積的最小值等于

1

2

•AB•（d-1）求得結果．

解答：解：點A（2，π），B（2，

4π

3

）的直角坐標為 A（-2，0），B（-1，-

3

），故AB=

1+3

=2，且AB的方程為

y-0

- 3 -0

=

x+2

-1+2

，即

3

x+y+2

3

=0．
曲線p=2sinθ 化為直角坐標方程為 x²+（y-1）²=1，表示以C（0，1）為圓心，半徑等于1的圓． 
圓心到直線的距離為d=

|0+1+2 3 |

3+1

=

3

+

1

2

，故點C到直線的最小距離等于d-1=（

3

+

1

2

-1）=

3

-

1

2

，
故△ABC的面積的最小值等于

1

2

•AB•（d-1）=

3

-

1

2

，
故答案為

3

-

1

2

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，直線和圓的位置關系，屬于基礎題．