Question

(本小題滿分14分)
設不等式確定的平面區域為，確定的平面區域為．
（1）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”，在區域內任取3個整點，求這些整點中恰有2個整點在區域的概率；
（2）在區域內任取3個點，記這3個點在區域的個數為，求的分布列和數學期望．

Answer 1

（1）．                                                
（2）的分布列為：

	0	1	2	3

的數學期望．
（或者： ，故）

(1)先作出不等式的可行域，找出其中的整點，從而求出所求事件的概率.
(2)先確定X的可能取值為0,1,2,3,然后再求出每一值對應的概率，列出分布列，根據期望公式求出期望值.
（1）依題可知平面區域的整點為共有13個，平面區域的整點為共有5個， ∴．                                                
（2）依題可得：平面區域的面積為：，平面區域的面積為：．
在區域內任取1個點，則該點在區域內的概率為，
易知：的可能取值為，                     
 ．
∴的分布列為：

	0	1	2	3

的數學期望．
（或者： ，故）