Question

如圖，圓錐的高PO＝4，底面半徑OB＝2，D為PO的中點(diǎn)，E為母線PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面圓周上一點(diǎn)，滿足EF⊥DE.

(1)求異面直線EF與BD所成角的余弦值；
(2)求二面角OOFE的正弦值．

Answer 1

（1）（2）

(1)以O(shè)為原點(diǎn)，底面上過O點(diǎn)且垂直于OB的直線為x軸，OB所在的線為y軸，OP所在的線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則
B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)．
設(shè)F(x₀，y₀，0)(x₀>0，y₀>0)，且＋＝4，
則＝(x₀，y₀－1，－2)，＝(0，1，0)，
∵EF⊥DE，即⊥，則·＝y(tǒng)₀－1＝0，故y₀＝1.
∴F(，1，0)，＝(，0，－2)，＝(0，－2，2)．
設(shè)異面直線EF與BD所成角為α，則cosα＝.
(2)設(shè)平面ODF的法向量為n₁＝(x₁，y₁，z₁)，則
令x₁＝1，得y₁＝－，平面ODF的一個(gè)法向量為n₁＝(1，－，0)．
設(shè)平面DEF的法向量為n₂＝(x₂，y₂，z₂)，
同理可得平面DEF的一個(gè)法向量為n₂＝.
設(shè)二面角ODFE的平面角為β，則|cosβ|＝＝.
∴sinβ＝.