Question

如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)．

(1)求證：AE⊥平面BDC；
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

Answer 1

(1)見解析   (2)

解：(1)證明：取BD的中點F，連接EF，AF，
則AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.
由余弦定理知
AE＝＝.
∵AE²＋EF²＝AF²，∴AE⊥EF.
∵AB＝AD，F為BD中點．∴BD⊥AF.
又BD＝2，DC＝1，BC＝，
∴BD²＋DC²＝BC²，
即BD⊥CD.
又E為BC中點，EF∥CD，∴BD⊥EF.
又EF∩AF＝F，
∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，
∵BD∩EF＝F，
∴AE⊥平面BDC.
(2)以E為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A，

C，
B，
D，＝(2,0,0)，
＝，＝.
設平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，
由得
取z＝，
則y＝－3，又∵n＝(0，－3，)．
∴cos〈n，〉＝＝－.
故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為.