Question

已知二次函數f（x）=x²+x的定義域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域為A．函數 g(x)=x3-3tx+

1

2

t的定義域為[0，1]，值域為B．
（1）求f （x） 的定義域D和值域 A；
（2）（理） 試用函數單調性的定義解決下列問題：若存在實數x₀∈（0，1），使得函數 g(x)=x3-3tx+

1

2

t在[0，x₀]上單調遞減，在[x₀，1]上單調遞增，求實數t的取值范圍并用t表示x₀．
（3）（理） 是否存在實數t，使得A⊆B成立？若存在，求實數t 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（4）（文） 是否存在負實數t，使得A⊆B成立？若存在，求負實數t 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（5）（文） 若函數g(x)=x3-3tx+

1

2

t在定義域[0，1]上單調遞減，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）+f（x）=2x²≤2|x|的解集為為[-1，1]可求函數定義域D結合二次函數的性質可求，值域A
（2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則g（x₁）＞g（x₂）可得3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² 同理 由在[x₀，1]上單調遞增得3t≤3x₀²則 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）可求t的范圍
（3）（理） 由（2）的單調性分析同理可得 t 的不同取值，函數g（x）的單調性
①當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，可求B，進而可求t的范圍
②當 0＜t＜1 時，函數 g（x）的減區間為：[0，

t

]；g（x）的增區間為：[

t

，1]．
g（x）在 x=達到最小值．③當t≥1時，函數 g（x） 在區間[0，1]單調遞減可求t的范圍
（4）（文） 即（3）（理） ①當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，可求B，進而可求t的范圍
（5）（文） 類比 （2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則g（x₁）＞g（x₂）可得3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀² 同理 由在[x₀，1]上單調遞增得3t≤3x₀²則 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）可求t的范圍

解答：解：（1）∵f（-x）+f（x）=2x²≤2|x|的解集為為[-1，1]
函數定義域D=[-1，1]值域 A=[-

1

4

，2]…（4分）
（2）（理）在[0，x₀]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則g（x₁）＞g（x₂）
∴x13-3tx1+

1

2

＞  x23-3tx2+

1

2

∴3t＞x₁²+x₂²+x₁x₂≥3x₀²                         …（6分）
同理 由在[x₀，1]上單調遞增得3t≤3x₀²
所以 3t=3x₀²由x₀∈（0，1）得t∈（0，1）…（10分）
（3）（理） 由（2）的單調性分析同理可得 t 的不同取值，函數g（x）的單調性
 ①當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，∴B=[，1-

5

2

t]，
∴

t

2

≤-

1

4

且2≤1-

5

2

t，解得t≤-

1

2

，…（13分）
  ②當 0＜t＜1 時，函數 g（x）的減區間為：[0，

t

]；g（x）的增區間為：[

t

，1]．
g（x）在 x=達到最小值．g(0)≥2或g(1)≥2；且g(

t

)≤-

1

4

此與0＜t＜1矛盾．          …（15分）
  ③當t≥1時，函數 g（x） 在區間[0，1]單調遞減，∴B=[1-

5

2

t，

t

2

]
∴

t

2

≥2且1-

5

2

t≤-

1

4

，即t≥4
綜上所述：t的取值范圍是：(-∞，-

1

2

]∪[4，+∞)…（18分）
（4）（文）  即（3）（理）①
  當 t≤0時，函數 g（x）=x³-3tx+在 x∈[0，1]單調遞增，∴B=[，1-

5

2

t]，
∴

t

2

≤-

1

4

且2≤1-

5

2

t，解得t≤-

1

2

，（10分）
（5）（文） 類比 （2）（理）  得t≥1                                     …（18分）

點評：本題主要考查了絕對值不等式的解法，及二次函數閉區間上的最值的求解，函數的單調性的應用，解答本題要求考生具備較強的邏輯推理的能力及計算的能力．