【題目】若四面體的六條棱長分別為2,3,4,5, 6,7,則不同的形狀有______種(若兩個四面體經適當放置后可完全重合,則認為是相同的形狀).
【答案】10.
【解析】
將長為k的棱記為
.考慮
.
(1) 共面,則該面的另一邊必為
.
(i)若
按順時針方向組成三角形(均指從形內向該面看三邊的繞向,下同),則邊
不能取
(否則,將使
的三邊為2,5,7,矛盾)
若取
,
,有2種情況;
若取
,
,也有2種情況. 共得4種情況.
(ii)若按逆時針方向組成三角形,類似也得4種情況.
(2)異面,設
,
.則其余四條邊，每一條皆與相鄰，于是
所在面的另一條邊必為.
(i)若
按順時 針方向組成三角形,不妨設
,
,剩 下兩條邊,
不能取,故只有
,
,得1 種情況.(ii)若按逆時針方向組成三角形,類似也得1種情況. 因此,本題中不同的形狀有10種.
故答案為：10
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【題目】設有限數列
，定義集合
為數列
的伴隨集合．
（Ⅰ）已知有限數列
和數列
．分別寫出
和
的伴隨集合；
（Ⅱ）已知有限等比數列
，求的伴隨集合
中各元素之和
；
（Ⅲ）已知有限等差數列
，判斷
是否能同時屬于的伴隨集合，并說明理由．
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【題目】根據統計，某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量
（百千克）與某種液體肥料每畝使用量
（千克）之間的對應數據的散點圖，如圖所示.
（1）依據數據的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請計算相關系數
并加以說明（若
，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；
（2）求關于的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為
千克時，西紅柿畝產量的增加量約為多少？
附：相關系數公式
，回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
.
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【題目】如圖，矩形
為一張臺球桌面，
，
.從點
擊出一個球，其可無限次經臺球桌四邊反彈運行.已知該球經過矩形的中心
.
（1）試求所有整點
的個數，使得該球可以經過點
；
（2）若該球在上述
、兩點間的最短路徑長為
，求的最大值.
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【題目】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎.為了做好今年的世界睡眠日宣傳工作，某社區從本轄區內同一年齡層次的人員中抽取了100人，通過問詢的方式得到他們在一周內的睡眠時間(單位：小時)，并繪制出如右的頻率分布直方圖：
(Ⅰ)求這100人睡眠時間的平均數
(同一組數據用該組區間的中點值代替，結果精確到個位)；
(Ⅱ)由直方圖可以認為，人的睡眠時間
近似服從正態分布
，其中
近似地等于樣本平均數，
近似地等于樣本方差
，
.假設該轄區內這一年齡層次共有10000人，試估計該人群中一周睡眠時間位于區間(39.2，50.8)的人數.
附：
.若隨機變量
服從正態分布，則
，
.
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【題目】設橢圓
(
)的左、右焦點分別為
，過
的直線交橢圓于
，
兩點，若橢圓
的離心率為
，
的周長為
.
(1)求橢圓的方程；
(2)設不經過橢圓的中心而平行于弦
的直線交橢圓于點
，
，設弦，
的中點分別為
，證明：
三點共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的
倍，P為側棱SD上的點.
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由.
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