Question

【題目】已知.在單位圓上有兩個(gè)定點(diǎn)、，，是上一動(dòng)點(diǎn)，在直線上存在一點(diǎn)，滿足（為邊的中點(diǎn)）.試求的最大值.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，在優(yōu)弧上取點(diǎn)，使.取中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn).作交于另一點(diǎn).由中位線定理知.

下面對(duì)點(diǎn)分情況討論.

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)（為中點(diǎn)）.

由

.

因，所以，.

因此，.

（2）當(dāng)時(shí)，同（1）知在上存在一點(diǎn)，滿足

.

（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)交于點(diǎn).

由知.

又，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.

從而滿足的點(diǎn)在的外接圓上.但與該圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、，故在直線上沒有點(diǎn)滿足.

（4）當(dāng)時(shí)，同（3）知不存在滿足條件的點(diǎn).

（5）當(dāng)時(shí)，類似（1）知在上存在一點(diǎn)，滿足 .

綜上，當(dāng)時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn).

如圖，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn).則.

由上面的證明知，滿足的點(diǎn)在以為直徑的圓上.故

.