Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ax，a∈R．
（1）當x=1時，函數f（x）取得極值，求a的值；
（2）當0＜a＜ 時，求函數f（x）在區間[1，2]上的最大值；
（3）當a=﹣1時，關于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一實數解，求實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）= ﹣a= ．

因為當x=1時，函數f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．

經檢驗，a=1符合題意．

（2）解：f′（x）= ﹣a= ，x＞0．

令f′（x）=0得x= ．

因為0＜a＜ ，1≤x≤2，∴0＜ax＜1，∴1﹣ax＞0，∴f′（x）＞0，

∴函數f（x）在[1，2]上是增函數，

∴當x=2時，f（x）max=f（2）=ln2﹣2a．

（3）解：因為方程2mf（x）=x2有唯一實數解，

所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數解，

設g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，

則g′（x）= ，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．

因為m＞0，x＞0，所以x1= ＜0（舍去），x2= ，

當x∈（0，x2）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上單調遞減，

當x∈（x2，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）單調遞增，

當x=x2時，g（x）取最小值g（x2）．

則 即

所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因為m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），

設函數h（x）=2lnx+x﹣1，因為當x＞0時，h（x）是增函數，所以h（x）=0至多有一解．

因為h（1）=0，所以方程（*）的解為x2=1，即 =1，

解得m= ．

【解析】（1）先求出函數f（x）的定義域和導數，再利用已知條件建立含有a的方程，解方程，可得a的值；（2）先求出函數f（x）的導數，再判斷函數f（x）在[1，2]上的單調性，進而可得函數f（x）在區間[1，2]上的最大值；（3）先構造函數，再利用導數可得函數的單調性，進而可得函數的最小值，從而建立含有m的方程，解方程，可得實數m的值．