Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AD=PD=2，PA=2 ，∠PDC=120°，點E為線段PC的中點，點F在線段AB上． （Ⅰ）若AF= ，求證：CD⊥EF；
（Ⅱ）設平面DEF與平面DPA所成二面角的平面角為θ，試確定點F的位置，使得cosθ= ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在△PCD中，PD=CD=2， ∵E為PC的中點，∴DE平分∠PDC，∠PDE=60°，
∴在Rt△PDE中，DE=PDcos60°=1，
過E作EH⊥CD于H，則 ，連結FH，

∵ ，∴四邊形AFHD是矩形，
∴CD⊥FH，又CD⊥EH，FH∩EH=H，∴CD⊥平面EFH，
又EF平面EFH，∴CD⊥EF．
解：（Ⅱ）∵AD=PD=2， ，∴AD⊥PD，又AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，
又AD平面ABCD，∴平面PCD⊥平面ABCD．
過D作DG⊥DC交PC于點G，則由平面PCD⊥平面ABCD知，DG⊥平面ABCD，
故DA，DC，DG兩兩垂直，以D為原點，以DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示空間直角坐標系O﹣xyz，

則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， ，
又知E為PC的中點，E ，設F（2，t，0），
則 ， ， ， ．
設平面DEF的法向量為 =（x1 ， y1 ， z1），
則 ，∴ ，
取z1=﹣2，得平面DEF的一個法向量 ，
設平面ADP的法向量為 =（x2 ， y2 ， z2），
則 ，∴ ，
取z2=1，得 ．
∴ ，解得 ，
∴當 時，滿足 ．
【解析】（Ⅰ）過E作EH⊥CD于H，連結FH，推導出四邊形AFHD是矩形，由此能證明CD⊥EF．（Ⅱ）過D作DG⊥DC交PC于點G，以D為原點，以DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O﹣xz，利用向量法能求出當 時，滿足 ．
【考點精析】認真審題，首先需要了解空間中直線與直線之間的位置關系(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點)．