Question

【題目】已知平面上動點到點的距離與到直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設是曲線上的動點，直線的方程為.

①設直線與圓交于不同兩點， ，求的取值范圍；

②求與動直線恒相切的定橢圓的方程；并探究：若是曲線： 上的動點，是否存在直線： 恒相切的定曲線？若存在，直接寫出曲線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】分析：（1）設設，根據動點到點的距離與到直線的距離之比為，建立方程，即可求得曲線的方程；（2）①先求出圓心到直線的距離，結合勾股定理可表示出，再根據及，即可求得的取值范圍，從而可得的取值范圍；②取， ，直線的方程為，取， 時，直線的方程為，根據橢圓對稱性，猜想的方程為與直線相切，由此聯立方程組，轉化為恒成立，即可推出存在，若是曲線： 上的動點，結合以上結論可得與直線相切的定曲線的方程為.

詳解：（1）設，由題意，得.

整理，得，所以曲線的方程為.

（2）①圓心到直線的距離

∵直線于圓有兩個不同交點，

∴

又∵

∴

由，得.

又∵

∴

∴

因此， ，即的取值范圍為.

②當， 時，直線的方程為；當， 時，直線的方程為，根據橢圓對稱性，猜想的方程為.

下證：直線與相切，其中，即.

由消去得： ，即.

∴恒成立，從而直線與橢圓： 恒相切.

若點是曲線： 上的動點，則直線： 與定曲線： 恒相切.