Question

【題目】已知橢圓方程為．

（1）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，求的值；

（2）設(shè)直線和圓相切，和橢圓交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段、分別和圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，由該點(diǎn)在橢圓上得出，然后利用距離公式和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值；

（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，在直線的斜率不存在時(shí)，可求得，在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，根據(jù)直線與圓相切，得出，并將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將表示為的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域的求解，綜合可得出答案.

（1）由已知，，設(shè)，

由，

同理，可得，

．

結(jié)合，得，故；

（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，

由對(duì)稱性，不妨設(shè)，此時(shí)，故．

若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由已知可得，則，

設(shè)、，將直線與橢圓方程聯(lián)立，

得，

由韋達(dá)定理得，．

結(jié)合及，

可知．

將根與系數(shù)的關(guān)系代入整理得：

，

結(jié)合，得．

設(shè)，，

則．

的取值范圍是．