Question

關于函數f（x）=4sin（2x+

π

3

）（x∈R），有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數倍；
②y=f（x）的表達式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）；
③y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱；
④y=f（x）的圖象關于直線x=-

5π

12

對稱．
其中正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：①函數的周期T=

2π

2

=π，函數值等于0的x之差的最小值為

T

2

，所以x₁-x₂必是的

π

2

整數倍．
②利用誘導公式進行化簡判斷．
③利用三角函數的圖象和性質判斷f（-

π

6

）=0是否成立．
④利用三角函數的圖象和性質判斷．

解答：解：①∵函數的周期T=

2π

2

=π，函數值等于0的x之差的最小值為

T

2

，∴x₁-x₂必是

π

2

的整數倍，∴①錯誤．
②f（x）=4sin（2x+

π

3

）=4cos[

π

2

-(2x+

π

3

)]=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），∴②正確．
③∵f（-

π

6

）=4sin[2×(-

π

6

)+

π

3

]=4sin（-

π

3

+

π

3

）=0，∴y=f（x）的圖象關于點（-

π

6

，0）對稱，∴③正確．
④∵f（-

5π

12

）=4sin[2×(-

5π

12

)+

π

3

]=4sin（

π

3

-

5π

6

）=4sin（-

π

2

）=-4，為函數的最小值，∴y=f（x）的圖象關于直線x=-

5π

12

對稱，即④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，要求熟練掌握三角誘導公式，和三角函數的性質的綜合應用．