Question

【題目】已知f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=3x ．
（1）求 f（x），g（x）；
（2）若對于任意實(shí)數(shù)t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）、g（x）分別是奇函數(shù)、偶函數(shù)，

∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

令x取﹣x，代入f（x）+g（x）=3x ①，

f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x，即﹣f（x）+g（x）=3﹣x ②，

由①②解得，f（x）= ，g（x）=

（2）解：由（1）可得，不等式f（2t）+ag（t）＜0為：

不等式 +a ＜0，

化簡得，（3t﹣3﹣t）+a＜0，即a＜﹣3t+3﹣t，

∵任意實(shí)數(shù)t∈[0，1]，不等式f（2t）+ag（t）＜0恒成立，

且函數(shù)y=﹣3t+3﹣t在[0，1]上遞減，∴y≥ ，即a＜

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞， ）

（3）解：由（1）可得，不等式af（m）+g（2m）＜0為：

a + ＜0，

∵m∈[﹣2，﹣1]，∴ ，則化簡得，

a＞ = = ，

令t=3﹣m﹣3m，∵m∈[﹣2，﹣1]，∴t∈[ ， ]，

則a＞ ，

∴存在m∈[﹣2，﹣1]，使得不等式af（m）+g（2m）＜0成立等價(jià)于：

存在t∈[ ， ]，使得不等式a＞ 成立，

∵ =2 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即t= 時(shí)取等號，

∴函數(shù)y= 在[ ， ]遞增，則函數(shù)y= 的最小值是 ，

即a＞ ，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ，+∞）

【解析】（1）將﹣x代入已知等式，利用函數(shù)f（x）、g（x）的奇偶性，得到關(guān)于f（x）與g（x）的又一個(gè)方程，將二者看做未知數(shù)解方程組，解得f（x）和g（x）；（2）由（1）和t的范圍化簡不等式f（2t）+ag（t）＜0，分離出a后構(gòu)造函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，根據(jù)恒成立求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）由（1）和m的范圍化簡不等式af（m）+g（2m）＜0，分離出a后構(gòu)造函數(shù)，利用換元法法，由函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，根據(jù)存在性問題求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．