Question

【題目】已知點是橢圓上任意一點，點到直線:的距離為，到點的距離為，且，直線與橢圓交于不同兩點、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經過此定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）設，則，，代入化簡得；（2）先求得，得到直線的方程，代入橢圓方程求得，進而求得直線的方程；（3）直線方程入，寫出根與系數關系，代入，化簡得所以直線方程為，直線總經過定點.

試題解析：

（1）設，則， ，

∴，化簡，得，∴橢圓的方程為.

（2），∴，

又∵，∴，.

代入解，得（舍）∴,

，∴.即直線的方程為.

（3）解法一：∵，∴.

設，，直線方程為.代直線方程入，得.

∴，，

∴

∴

∴，

∴直線方程為，

直線總經過定點.

解法二：由于，所以關于軸的對稱點在直線上.

設，，，直線方程為.代入，得

.

∴，，

∴，，令，得.

又∵，，

∴.

∴直線總經過定點.