Question

在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則

MA

+

MB

+

MC

=

0

設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心．如a

MA

+b

MB

+

3

3

c

MC

=

0

，則內角A的大小為

 

；若a=3，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

分析：由題意得，（a-

3

3

c）

MA

+（b-

3

3

c）

MB

=

0

，∵

MA

 與 

MB

不共線，∴a-

3

3

c=b-

3

3

c=0，余弦定理可求得cosA，從而求得 A  和△ABC面積S．

解答：解：由  a

MA

+b

MB

+

3

3

c

MC

=a

MA

+b

MB

+

3

3

c（-

MA

-

MB

 ）=（a-

3

3

c）

MA

+（b-

3

3

c）

MB

=

0

，
∵

MA

與

MB

不共線，∴a-

3

3

c=b-

3

3

c=0，
∴a=b=

3

3

c，△ABC中，由余弦定理可求得cosA=

3

2

，∴A=

π

6

．
若a=3，則 b=3，c=3

3

，△ABC面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3×3

3

×

1

2

=

9 3

4

，
故答案為

π

6

； 

9 3

4

．

點評：本題考查兩個向量的運算，余弦定理的應用，求得 a=b=

3

3

c，是解題的難點和關鍵．