Question

【題目】已知三棱錐A﹣BCD的所有棱長均相等，E為DC的中點，若點P為AC中點，則直線PE與平面BCD所成角的正弦值為_____，若點Q在棱AC所在直線上運動，則直線QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

，則直線PE與平面BCD所成角等于直線與平面BCD所成角，過A作AO⊥底面BCD，垂足為O，連結OD，則∠ADO是直線PE與平面BCD所成角，在中求解即得，是一個正四面體，當Q與A重合時，直線QE與平面BCD所成角正弦值取最大值，在中計算可得最大值．

連結BE，AE，過A作AO⊥底面BCD，垂足為O，連結OD，

則∠ADO是直線PE與平面BCD所成角，

設三棱錐A﹣BCD的所有棱長均相等，設棱長為2，

則DO＝BOBE，

AO，

∴sin∠ADO．

∴直線PE與平面BCD所成角的正弦值為．

當Q與A重合時，直線QE與平面BCD所成角正弦值取最大值，

此時直線QE與平面BCD所成角為∠AEO，AE，

∴直線QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為：

sin∠AEO．

故答案為：，