Question

【題目】a，b為空間兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與a，b都垂直，斜邊以為旋轉(zhuǎn)軸選擇，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成30°角；

②當(dāng)直線與a成60°角時(shí)，與b成60°角；

③直線與a所成角的最小值為45°；

④直線與a所成角的最大值為60°；

其中正確的是_______.（填寫所以正確結(jié)論的編號(hào)）.

A.①③B.①④C.②③D.②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方體，，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．

解：由題意知，、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，

故，，

斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，

以坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則，0，，，0，，

直線的方向單位向量，1，，，

直線的方向單位向量，0，，，

設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)，，，

其中為與的夾角，，，

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量，，，，，

設(shè)與所成夾角為，，

則，，

，，③正確，④錯(cuò)誤．

設(shè)與所成夾角為，，

，

當(dāng)與夾角為時(shí)，即，

，

，，

，，，此時(shí)與的夾角為，

②正確，①錯(cuò)誤．

故選：．