Question

【題目】已知數列的前項和．

（1）計算，，，；

（2）猜想的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）依題設可得，，，；

（2）猜想：．

證明：①當時，猜想顯然成立．

②假設時，猜想成立，

即．那么，當時，，即．

又，所以，

從而．即時，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

【解析】試題分析：（1）采用賦值法，令，,先求，時，，求，然后令和時，分別求和；（2）根據（1）的結果，將前4項寫成，，，，觀察前4項的形式，猜想，最后按數學歸納法證明.

試題解析：（1）依題設可得，，，

（2）猜想：．

證明：①當n=1時，猜想顯然成立．

②假設n=k（）時，猜想成立，即．

那么，當n=k+1時，， 即．

又， 所以，

從而．

即n=k+1時，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．