Question

【題目】已知（），，且直線與曲線相切.

（1）求的值；

（2）若對內的一切實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證： （）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

(1) 設點為切點，列出方程求解可得， .

(2)不等式即： ，

， 必須恒成立.

設，由是增函數， ， .

因此，實數的取值范圍是.

(3) 結合前面的結論，當， 時， ，得 ，化簡得 ， .即可證得結論.

試題解析：

解：（1）設點為直線與曲線的切點，則有

.（*）

， .（**）

由（*）、（**）兩式，解得， .

（2）由整理，得，

， 要使不等式恒成立，必須恒成立.

設， ，

， 當時， ，則是增函數，

， 是增函數， ， .

因此，實數的取值范圍是.

（3）證明：當時，根據（1）的推導有， 時， ，

即.令，得 ，

化簡得 ，