已知函數
定義在
上，對任意的
，
，且
.
（1）求
，并證明：
；
（2）若單調，且
.設向量
，對任意
，
恒成立，求實數
的取值范圍.
（1）
（2）
解析試題分析：（1）借助于
特殊值得，然后把變形
= 
即可，（2） 首先判斷出函數是增函數，然后找出
，代入整理的
，最后用分類討論的思想方法求出即可.
（1）令得
，又∵，， 2分
由得=，
∵，∴. 5分
（2） ∵
，且是單調函數，∴是增函數. 6分
而
，∴由，得
，
又∵因為是增函數，∴
恒成立，
.
即. 8分
令
，得
(﹡).
∵
，∴
，即
.
令
， 10分
①當
，即
時，只需
，(﹡)成立，
∴
，解得
； 11分
②當
，即
時，只需
，(﹡)成立，
∴
，解得
，∴
. 12分
③當
，即
時，只需
，(﹡)成立，
∴
， ∴
， 13分
綜上，. 14分
考點：抽象函數；函數的單調性；向量的數量積公式；不等式恒成立的問題；分類討論的思想方法.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝3x－
.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)判斷x>0時，f(x)的單調性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0對于t∈
恒成立，求m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某加油站擬造如圖所示的鐵皮儲油罐（不計厚度，長度單位：米），其中儲油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，
（
為圓柱的高，
為球的半徑，
）.假設該儲油罐的建造費用僅與其表面積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為
千元，半球形部分每平方米建造費用為3千元.設該儲油罐的建造費用為
千元.
（1）寫出關于的函數表達式，并求該函數的定義域；
（2）求該儲油罐的建造費用最小時的的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度
（單位：cm）滿足關系：
(
，
為常數)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設
為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（1）求的值及的表達式；
（2）隔熱層修建多厚時，總費用達到最小？并求出最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)的圖象與函數h(x)＝x＋
＋2的圖象關于點A(0,1)對稱．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在區間[0,2]上為減函數，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
.
（1）求
的取值范圍，使
在閉區間
上是單調函數；
（2）當
時，函數
的最大值是關于的函數
.求；
（3）求實數的取值范圍，使得對任意的
，恒有
成立.
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，且
．
．
滿足對任意的
恒有
，且當
時，
.
的值；
，解不等式
.
．
內的任意
，總有
成立，求實數
的取值范圍；
在區間
內有兩個不同的零點
，求：
的取值范圍．