Question

【題目】在五面體中，四邊形是正方形，，，.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據題意先證得四邊形為等腰梯形，再證得，于是．又可得到平面，于是，根據線面垂直的判定定理可得平面，于是可得所證結論．（2）建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，根據兩向量的夾角的余弦值可得所求線面角的正弦值．

（1）證明：由已知，且平面，平面，

所以平面．

又平面平面，

故．

又，

所以四邊形為等腰梯形．

因為，

所以，

所以，

所以．

因為，且，

所以平面.

所以．

又，

∴平面，

又平面，

所以．

（2）如圖，以為原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，

∴，

設平面的法向量為，

由，得，

令，得．

設直線與平面所成的角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為．