Question

【題目】 已知函數.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）已知函數區間上的最小值為1，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）求得切線斜率k,點斜式得方程；（2）法一：，由h(x)單調增，則存在唯一的，，變形，則構造函數，證明函數有唯一解，即可求解；法一：同法一則，利用基本不等式求解即可

（1） ，則函數在點處的切線方程為；

(2)，，

在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，存在唯一的，

使得，即 （*），

函數在上單調遞增，，單調遞減；，單調遞增，，

由（*）式得，

，顯然是方程的解，

又是單調減函數，方程有且僅有唯一的解，

把代入（*）式得，，所求實數的值為.

解法2：，，

在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以函數在上單調遞增，故存在唯一的，

使得，即 （*），

，單調遞減；，單調遞增，，

由式得，

= =

,

（當且僅當 =1時），由得,此時，

把代入（*）也成立，

∴實數的值為.