Question

以下給出的是用條件語句編寫的程序，根據該程序回答
READ   x
IF     x＜a    THEN   y=-x²+ax+b
ELSEy=x²-ax+b
END   IF
PRINT   y
END
（Ⅰ） 求證：輸入x的值互為相反數則輸出的y值也互為相反數的充要條件是a²+b²=0；
（Ⅱ） 設常數，若在[0，1]隨機輸入x，則輸出的y值為負，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）充要條件的證明必須分清充分性與必要性．充分性是指若a²+b²=0時，判斷f（x）是奇函數；必要性是由f（x）是奇函數，判斷a²+b²=0；
（II）由于，故當x=0時，a取任意實數不等式恒成立，
當．所以只需對x∈（0，1]，（1），（2）．下面只需要對（1）式，（2）式，分別研究即可得實數a的取值范圍．
解答：解：（I）充分性：若a²+b²=0時，即a=b=0，所以f（x）=x|x|．∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），對一切x∈R恒成立，∴f（x）是奇函數；
必要性：若f（x）是奇函數，則對一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b．
令x=0，得b=-b，所以b=0．
再令x=a，得2a|a|=0，∴a=0，即a²+b²=0．
（II）∵，∴當x=0時，a取任意實數不等式恒成立，
故考慮．∴
對（1）式，由b＜0時，在為增函數，∴．∴a＞1+b．（3）
對（2）式，當．
當，∴．∴．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必須有．
∴當．
當為減函數，（證明略）
綜上所述，當的取值范圍是；
當b＜-1時，a的取值范圍是（1+b，1-b）．
點評：本題的考點是必要條件、充分條件及充要條件的判斷，主要考查充要性的證明，關鍵是讀懂信息，搞清充分性與必要性，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度